Cuando se formula una teoría, y se intenta que sea matematicamente precisa, hay que fijar los conceptos básicos que se van a incorporar a la teoría. Toda teoría científica empieza con ciertos axiomas y luego intenta buscar una explicación de otras cosas. No hay ninguna teoría que lo explique todo, siempre hay que dar unas pocas cosas como ciertas y luego se intenta explicar todo lo demás a través de esas pocas cosas.Temprell escribió: ↑Sábado 14 de Diciembre de 2024, 10:54Me gustaría hacer un inciso en el tema de las matemáticas.
Las matemáticas se basan en unas reglas establecidas de antemano denominadas axiomas, a partir de las cuales se establecen los teoremas y preposiciones. El ejemplo más conocido de axiomas son los elementos de Euclides, que sirven como base para formar la geometría euclidiana. Cabe destacar que estos principios no son inalterables y si se cambian se pueden formar nuevas matemáticas, de hecho se formó la geometría no euclidiana a costa de no tomar como cierto uno de los postulados (dado un punto y una recta, existe una única recta que pase por el punto que sea paralela a la recta dada). En un plano esto se cumple, pero en una esfera no.
Las condiciones que deben tener una serie de enunciados para que pueden formularse como axiomas son los siguientes:
Independencia: No se puede inferir uno de los axiomas a partir de los otros.
Consistencia: Dado un enunciado, no se puede demostrar a partir de los axiomas que se verdadero y falso al mismo tiempo.
Completitud: Un enunciado tiene que ser o bien cierto o bien falso, no puede quedar en el limbo.
Pues aunque parezca algo completamente extraño, Godel demostró que un sistema con aritmética definida y consistente es incompleto, es decir, hay resultados que son indecidibles. Es más, la propia consistencia de ese conjunto de axiomas entra dentro de esos resultados indecidibles.
Esto realmente es terrible, ya que puede suponer que las matemáticas estén mal de base, y lo que es peor, que no lleguemos a saber nunca que están mal.
Como dato curioso, Godel después de descubrir esto acabó loco. En la película Oppenheimer sale en una escena completamente ido.
Por ejemplo, en la teoría física se ha asumido que el espacio, el tiempo y la materia son esas pocas cosas y a partir de ahí se intenta explicar todo, en la física moderna (o no tan moderna ya) se han tenido que incluir los campos cuánticos en esas pocas cosas.
Recientemente Nima Arkani-Hamed, un físico teórico canadiense de orgen iraní, dice que la idea de espacio-tiempo lo ha hecho muy bien, pero está condenada como axioma básico, hay muchos indicios que vienen de la teoría cuántica y la relatividad general de que el espacio-tiempo no puede ser una de esas pocas cosas ciertas, tiene que haber algo más profundo fuera del espacio y el tiempo, que codifica el espacio o el tiempo. El espacio-tiempo cuando se llega a la escala de Planck no es algo que se pueda medir con precision, por lo que no puede ser un concepto fundamental. La ciencia apunta a una profunda estructura matemática subyacente al espacio-tiempo.
Ahora andan a vueltas con el amplituhedro, un objeto geométrico fuera del espacio y del tiempo, y que se corresponde con el comportamiento de dispersión de las partículas cuando chocan a velocidades cercanas a la luz en el Gran Colisionador de Hadrones. Descubrieron que los cientos de páginas de matemáticas de cálculo se reducian a expresiones simples si no hacía el cálculo en el espacio y el tiempo. Este amplituhedro tiene simetrías que no se pueden expresar en el espacio y el tiempo. Los físicos están descubriendo que existe algo detrás del espacio y el tiempo y no saben de qué se trata. En este momento, están siguiendo las matemáticas, que nos dicen que existe esta estructura fuera del espacio y el tiempo y hace que el cálculo sea más sencillo.
Donald Hoffman un psicólogo cognitivo que ha dedicado la mayor parte de su carrera a estudiar la percepción y la conciencia, al hilo de los trabajos de Nima Arkani, dice que nuestra percepción del universo "real" es una porción de la realidad altamente abreviada, comprimida y editada. Al final lo único verdaderamente que podemos dar como cierto son las matemáticas, están muy por delante de cualquier otra cosa que podamos concebir usar, hay incluso matemáticas para sistemas que hora mismo son meras suposiciones.
Las matemáticas son la realidad.